Was sollten wir über mathematische Funktionen wissen?

Kernaussage: Mit der Hilfe von Funktionen lassen sich Fragen über vergangene, aktuelle oder zukünftige Situationen beantworten.

Hier sollen nur grundsätzliche Fragen zu den mathematischen Funktionen beantwortet werden. Detailfragen können in "normalen" Schul- bzw. Mathebüchern nachgesehen werden.

Alle Elemente unseres Universum stehen in Beziehung zu anderen Elementen. Es gibt kein Element, dass vollkommen isoliert existiert.

Die Mathematik benutzt Symbole/Zeichen und eigene Fachwörter, um sprachliche Sätze kürzer darzustellen (anstelle des Satzes: "Addiert man zu der Zahl 2 die Zahl 1, dann erhält man als Ergebnis die Zahl 3" schreibt man kurz: 2 + 1 =3).

Wenn zwei Elemente eine Beziehung haben, dann sagt die Mathematik, dass eine Zuordnung = Relation zwischen ihnen besteht. Die Zuordung/Relation ist eine Vorschrift, die einen Bezug zwischen den Elementen zweier Mengen herstellt. Das heißt, die Vorschrift beschreibt die Beziehung zwischen ihnen. Die Mathematik betrachtet dabei nicht nur einzelne Elemente, sondern Mengen von Elementen.

Die Mathematik will Fragen über vergangene, aktuelle oder zukünftige Situationen beantworten. Deshalb ist für sie die Abhängigkeit einer Größe von der Zeit besonders interessant. Zu jedem Zeitpunkt gibt es nur einen Wert einer Größe. Diese Art von Relationen bezeichnet die Mathematik als Funktionen.

"Immer dann, wenn der Wert einer Größe von dem Wert einer anderen Größe abhängt, liegt eine Funktion vor. Da die Natur voll von solchen Anhängigkeiten ist, kann eine unermesslich große Anzahl von Vorgängen und Zusammenhängen in der mathematischen Sprache der Funktionen beschrieben, modelliert und verstanden werden ... Betrachten Sie etwa ein Thermometer, dass an irgedeinem Ort hängt. ... Zu jedem gegebenen Zeitpunkt t ... wird eine bestimmte Temperatur T ... angezeigt. ... Jedem Zeitpunkt t ist eine Temperatur T zugeordnet." (www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html, 14.08.21)

Genauer betrachtet gilt für die Abhängigkeiten von einer Größe in der Natur, dass es oft Störeinflüsse gibt (sehr kleine Abhängigkeiten von anderen Größen), die aber nicht berücksichtigt werden müssen, weil sie so klein sind.

"Die Bearbeitung eines realen Problems mit mathematischen Methoden hat auch
Grenzen, da die komplexe Realität nicht vollständig in einem mathematischen Modell abgebildet werden kann. Dies ist in der Regel auch nicht erwünscht. Ein Grund für das Erstellen von Modellen ist gerade die Möglichkeit einer überschaubaren Verarbeitung der realen Daten." (Ferri, R. B., Greefrath, G., & Kaiser, G. (Eds.). (2013). Mathematisches Modellieren für Schule und Hochschule: theoretische und didaktische Hintergründe. Springer-Verlag, S. 13)

Beispiel:

Bei einer Beziehung zwischen einem Zeitpunkt und der Temperatur fragt man sich: "Wie verändert sich die Temperatur mit der Zeit?" Weil sich beide ändern, werden Zeitpunkt und Temperatur als Variablen bezeichnet. Der Zeitpunkt ist hier die unabhängige Variable (meistens x genannt) und die Temperatur ist die abhängige Variable (meistensy genannt). Die Temperatur y hängt vom Zeitpunkt x ab. Die Abhängigkeit eines Messwertes von der Zeit ist das beste Beispiel für die Definition einer Funktion: Es gibt keinen Zeitpunkt, an dem es keinen Temperaturwert gibt und an jedem Zeitpunkt kann es nur einen Messwert geben. Zwei verschiedene Messwerte zum gleichen Zeitpunkt sind nicht möglich, nur einer kann der richtige sein.

Definition: Eine Funktion f(x) ist dann gegeben, wenn jedem Element x einer Definitionsmenge genau ein Element y einer Zielmenge zugeordnet ist.

Nicht jedes Element einer Ziemenge muss als Funktionswert vorkommen. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge. Die Wertemenge ist eine Teilmenge der Zielmenge, sie können aber auch gleich sein.

Es handelt sich nicht um eine Funktion, wenn einem x kein y zugeordnet wird oder einem x mehrere verschiedene y zugeordnet werden. Deshalb ist es wichtig die Definitionsmenge bzw. den Definitionsbereich und die Zielmenge bzw. den Zielbereich einer Funktion zu betrachten. 

Beispiel: Die Wurzelfunktion

Unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen, also lautet der Definitionsbereich für diese Funktion D = alle rellen Zahlen größer gleich 0.

Für die obige Funktionsgleichung gibt es zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen. So gibt für die Wurzel aus 4 die beiden Lösungen +2 und -2. Es wurde aber festgelegt, dass die obige Schreibweise (ohne Vorzeichen vor der Wurzel) immer für die positive Lösung steht. Will man beide Lösungen erhalten, muss man schreiben

Dies ist aber keine Funktion, da es für jedes x zwei Lösungen gibt (erlaubt ist nur eine Zuordnung s. o.). Wegen der Festlegung auf die positive Lösung, hat die "normale" Wurzelfunktion ohne Vorzeichen den Zielbereich größer gleich 0.

Wenn der Definitions- und Zielbereich nicht explizit angegeben sind, wird der Definitionsbereich maximal groß und der Zielbereich als die ganzen reellen Zahlen angenommen.

Wenn wir die Definitionsmenge A und die Zielmenge B nennen, dann schreibt man für die Zuordnung (also für die Funktion) f : A → B.

"Wenn klar ist, was A und B sind, oder wenn Definitions- und Zielmenge gerade nicht so wichtig sind, sprechen wir auch von „der Funktion y = f(x)“. Streng genommen ist dabei nur f die Funktion (Zuordnung), f(x) ist der Funktionswert an der Stelle x und y = f(x) ist die zugehörige Funktionsgleichung. Obwohl also „die Funktion y = f(x)" oder „die Funktion f(x)“ im heutigen Sinn nicht ganz präzise ist, werden wir diese eingängige und übliche Bezeichnung bewusst verwenden, weil sonst Formulierungen zwar vielleicht exakter, aber oft schwieriger und unverständlicher würden; es ist dann dem Kontext zu entnehmen, ob mit f(x) eine Funktion oder ein spezieller Funktionswert gemeint ist." (Humenberger, H., Schuppar, B. (2019) Mit Funktionen Zusammenhänge beschreiben. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, S. 11)

Für viele Beziehungen sind mathematische Formeln bekannt, mit denen Werte berechnet werden können, die die Beziehung quantitativ beschreiben. Für einige Beziehungen zwischen den Elementen existieren nur sehr komplizierte Formeln. So kann z. B. die Außentemperatur (für die Wettervorhersage) nur grob für wenige Tage berechnet werden. Aber es gibt auch viele Beziehungen für die es überhaupt keine Formel gibt.

"Die Erfahrung zeigt, dass Schülerinnen und Schüler häufig Probleme haben, funktionale Zusammenhänge in Sachkontexten zu erkennen ... Zindel et al. (2018) heben in diesem Zusammenhang hervor, ... immer wieder gezielt zur Reflexion anzuregen, welche Größen bei einem betrachteten funktionalen Zusammenhang voneinander in welcher Form abhängig sind. Hierzu schlagen sie die folgenden Fokusfragen vor: ... Um welche zwei Größen geht es? Welche Größe ist abhängig von welcher?" (Barzel, B., Glade, M., & Klinger, M. (2021). Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch. Springer , S. 56)

Beispiel: Aufstellen einer Funktionsgleichung

Schon die frühen Mathematiker wussten, dass bei einem rechtwinkligen Dreick zwischen den Seiten eine Beziehung besteht und sie kannten die Formel, mit der man diese Abhängigkeit quantitativ berechnen kann: a² + b² = c²

Nun kann man sich fragen, wie verhält sich die Seite c, wenn die Seite b einen festen Wert hat und die Seite a verändert wird. Die Formel wird nach c aufgelöst:

Man sagt: Die untere Gleichung ist die Funktionsgleichung, mit der man zu jedem Wert von a einen Funktionswert c = f(a) berechnen kann. Jedem Wert von a wird so ein Wert c zugeordnet. Die Zuordnung geschieht, indem ein bestimmter Wert a in die Gleichung einsetzt und dann der zugeordnete Wert c ausgerechnet wird.

Nun musst noch festgelegt werden, welche Werte a einnehmen darf. Diese Werte werden Definitionsmenge genannt (z. B. gehört für die Funktion  f(x) = 1/x der Wert 0 nicht zur Definitionmenge). Die zugeordneten Werte c werden Wertemenge genannt.

Eine Funktion kann auch als Wertetabelle dargestellt werden, die zeigt welche beiden Werte zueinander gehören. Wenn die Wertetabelle zu groß wird, ist es sinnvoll die Funktion zu visualisiern, indem man ihren Graphen (ihre zeichnerische Darstellung) in ein Koordinatensystem einträgt. Der Funktionsgraph ist die Menge aller Elementepaare (x│y), für die gilt y = f(x).

"Funktionsgleichung bzw. -vorschrift, Wertetabelle und Funktionsgraph stellen
die geläufigsten Darstellungsformen funktionaler Zusammenhänge dar. Zusätzlich gibt es noch die Darstellung über Pfeildiagramme und die verbale Beschreibung einer Funktion. Die einzelnen Darstellungsformen heben unterschiedliche Aspekte einer Funktion hervor. Während zum Beispiel die Wertetabelle eine eher statische Betrachtung vermittelt ... , bietet der Graph eine eher dynamische Sicht auf die Funktion an ..." (Meyer, M. (2021) Entdecken und Begründen im Mathematikunterricht. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, S. 127)

Beispiel für eine verbale (sprachliche) Funktion aus der Steinzeit: Obwohl die Menschen damals noch keine Zahlen kannten, haben sie an jedem Abend überprüft, ob ihre Familie vollzählig ist. Das erhaltene Ergebnis stellt einen Funktionswert da.

Es gibt auch Funktionen, die nicht mit einer Funktionsgleichung beschrieben werden können und für die ein Graph keinen Sinn macht. Z. B. erhält jedes zugelassene Auto genau ein Kennzeichen. Es handelt sich also um eine Funktion, nur die in Form einer Wertetabelle (Datenbank) existiert.

Eine Funktion kann mit drei verschiedenen Sichtweisen (Aspekten) betrachtet werden:

der Zuordnungsaspekt, das Änderungsverhalten und der Funktion als Ganzes (welche Gestalt hat die Funktion - eine Gerade, eine Parabel oder ... ?).

"Bei manchen Funktionen steht natürlich einer der Aspekte deutlich im Vordergrund: So hat es bei der Funktion "Auto Kennzeichen" keinen Sinn vom Änderungsverhalten zu reden. Andererseits entstehen manche Funktionen geradezu aus der Leitfrage "Wie ändert sich eine Größe y, wenn ich x ändere?" (Humenberger, H., & Schuppar, B. (2019). Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderungen beschreiben. Springer Berlin Heidelberg, S. 24)

Fortsetzung folgt ...